লগ কি বা কিভাবে এলো?
গুগল (googol) সংখ্যা নিয়ে মনে হয় অনেকেরই ধারণা আছে। ১ এর পর যদি ১০০ শুন্য(০) দেই তাহলে আমরা পাবো গুগল সংখ্যা। চিন্তা করে দেখোতো কত বড় একটা সংখ্যা। এটা এতই বিশাল যে, ইউনিভার্স এ যতগুলো ইলিমেন্টারি পার্টিকেল (১ এর পর ৮০ টা শুন্য) আছে তার চেয়েও গুগল অনেক বড়।
কিন্তু এই এতো বড় সংখ্যাকে কিন্তু আমরা সহজেই ছোট সংখ্যার মাধ্যমে লিখতে পারি। কিভাবে?
সেটা হচ্ছে লগ এর মাধ্যমে।
১০ ভিত্তিক লগ এর ক্ষেত্রে গুগল সংখ্যার মান হচ্ছে ১০০।
তাহলে আমি যদি বলি log(10)x= 100
(এখানে ১০ হচ্ছে লগ এর ভিত্তি(base))
তাহলে এই x টাই হচ্ছে আমাদের সেই বিশাল গুগল সংখ্যা।
এভাবে গণনার সুবিধার্থে সপ্তদশ শতাব্দীর শুরুর দিকে জন নেপিয়ার লগারিদম এর ব্যাবহার শুরু করেন।
আসলে লগারিদম হলো সূচকের বিপরীত প্রক্রিয়া। এর অর্থ কোনো সংখ্যা a এর লগারিদম হলো সেই সূচক যেটাকে একটি নির্ধারিত মানের, ঘাত হিসাবে উন্নীত করলে a সংখ্যাটি পাওয়া যায়। সাধারণ ক্ষেত্রে লগারিদম একটি সংখ্যা কতবার গুণ করা হলো সেটা গণনা করে। উদাহরণস্বরূপ, ১০০এর ১০ ভিত্তিক লগের মান ২, এর অর্থ হলো ১০ এর ঘাত ২ করলে ১০০ পাওয়া যায় (১০০ = ১০ × ১০ )।
লগ এর ভিত্তি(base) কেন e?
নিচের লেখচিত্রটি (graph) লক্ষ কর
২ ভিত্তিক লগারিদম এর ক্ষেত্রে y = log(2)x এর লেখচিত্র লক্ষ করলে আমরা দেখবো (ধনাত্মক দিক) প্রথমে (১,০) এবং পরে যথাক্রমে (২, ১), (৪, ২), (৮, ৩), …… বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
এটা আসলে কি বুঝাচ্ছে?
লেখচিত্রটি বলে দিচ্ছে
log(2)1 = 0 কারণ 2^0 = 1
log(2)2 = 1, কারণ 2^1 = 2
একইভাবে
log(2)4 = 2
log(2)8 = 3 ইত্যাদি।
এখন যদি আমরা ২ ভিত্তিক লগ অর্থাৎ y=log(2)x ফাংশনের (১,০) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের ঢাল (ঢাল হল, কোন সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণের ট্যানজেন্ট) নির্ণয় করি তবে আমরা পাই ০.৯১….
এবার y = log(10)x এর লেখচিত্রটি লক্ষ করি
তাহলে দেখা যাচ্ছে যে,
একই ভাবে যদি আমরা y = log(10)x এর লেখচিত্র অংকন করি তাহলে আমরা দেখবো এটি পর্যায়ক্রমে (১০,১), (১০০,২),(১০০০,৩)……. বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করবে।
তার মানে লেখচিত্র বলে দিচ্ছে
log(10)10 = 1,
log(10)100 = 2,
log(10)1000 = 3……. ইত্যাদি
তার মানে লেখচিত্র বলে দিচ্ছে log(10)10 = 1, log(10)100 = 2, log(10)1000 = 3……. ইত্যাদি
এখন যদি আমরা ১০ ভিত্তিক লগ অর্থাৎ y=log(10)x ফাংশনের (১,০) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় করি তবে আমরা পাই ০.৪৩…..
অর্থাৎ ২ ভিত্তিক লগের জন্য ১ এর চেয়ে বেশি আর ৩ ভিত্তিক লগের জন্য ১ এর চেয়ে কম।
তাহলে এমন কোন ভিত্তি কি আছে যেটি ২ ও ৩ এর মধ্যবর্তী কোন সংখা এবং লগের ফাংশনের (১,০) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের ঢাল এর মান ১ হবে?
সেই সংখ্যাটি হলো ২.৭১৮২৮১৮……..
কি সংখ্যাটিকে কি চেনাচেনা লাগছে?
হ্যা ঠীকই ধরেছো এই সেই সংখ্যা যেটা গণিতে e হিসেবে পরিচিত। এবং এই চিন্তাধারা থেকেই e কে লগ এর ভিত্তি হিসেবে ব্যবহার করা হয় । e ভিত্তিক লগের ফাংশন অর্থাৎ, y=log(e)x এর জন্য (১,০) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের ঢাল হবে ১।
e ভিত্তিক লগকে লন(ln) বলা হয়।
আমরা জানি ln(x) কে x এর সাপেক্ষে ডিফারেন্সিয়েসন করলে আমরা পাই ১/x
কিন্তু ভিত্তি যদি e না হয়ে অন্য যেকোন সংখ্যা ধরি y তখন log(y)x এর ডিফারেন্সিয়েশন করলে ১/x এর সাথে অন্য একটি সংখ্যা(১ ছাড়া) গুণ আকারে চলে আসে। যেমন log(2)x কে ডিফারেন্সিয়েশন করলে আমরা পাই (১.৪৪…)/x, আবার log(3)x কে ডিফারেন্সিয়েশন করলে ০.৯২../x ইত্যাদি।
মূলত এই কারণেই e কে লগ এর ভিত্তি(base) ধরা হয়।