প্রথমেই কুইজ
ধরুন, আপনি একটি গেম শো-তে অংশগ্রহণ করেছেন। এখন, আপনার সামনে তিনটি দরজা আছে। একটার পিছনে রাখা আছে মহা-মূল্যবান গিফট (মনে করি, একটা বি.এম.ডব্লিউ গাড়ি) , অন্য দুই দরজার পিছনে ফাঁকা- কিছুই নেই। এখন খেলার নিয়ম হলো,
১। আপনি প্রথমে একটি দরজা বাছাই করবেন।
২। হোস্ট আগে থেকেই জানে কোন দরজার পিছনে কী আছে। তখন হোস্ট গিয়ে অন্য দুইটি দরজার যেকোন একটি দরজা (যে দরজার পিছনে গাড়ি নেই) খুলে দিবে । যদি দুইটার কোনোটার পিছেই গাড়ি না থেকে থাকে, তবে র্যান্ডমলি যেকোন একটি খুলে দিবে।
৩। তখন আপনাকে প্রশ্ন করা হবে, আপনি আপনার ডিসিশান পরিবর্তন করবেন কীনা। আপনি চাইলে আপনার প্রথম বাছাইকৃত দরজাতেই ডিসিশান স্থির রাখতে পারেন, নতুবা অবশিষ্ট দরজাটিতে ডিসিশান পরিবর্তন করে ফেলতে পারেন (যে দরজাটি আপনি চয়েস করেননি, হোস্ট-ও উন্মোচন করেনি)।
৪। আপনি সর্বশেষ যে দরজায় সিদ্ধান্তে উপনীত হবেন, তার পিছনের পুরষ্কার আপনার হয়ে যাবে। অর্থাৎ, হয় গাড়ি পাবেন(!), নয়তো কিছুই পাবেন না।
তো প্রশ্ন হল, আপনার এখন কী করা উচিৎ ? সিদ্ধান্ত পরিবর্তন কি আদৌ ম্যাটার করে ?
(বি.দ্র. মূল প্রব্লেমটিতে অবশ্য দরজার পিছনে ফাঁকা রাখার পরিবর্তে স্বান্তনা পুরষ্কার হিসেবে ছাগল রাখা ছিল, কিন্তু আমি আপনাদের স্বান্তনা পুরষ্কার দিতে রাজি নই। )
সবাই একপলক দেখে নিশ্চয়ই বুঝে গিয়েছেন, সিদ্ধান্ত পরিবর্তনে এখানে কী-ই বা যায় আসে! এদের মধ্যে একটি দরজার পিছে সেই বি.এম.ডব্লিউ কার, অন্য দরজার পিছে ফাঁকা। তাই সম্ভাবনা ৫০-৫০%, কয়েন টসের মতই আরকি। তো একটা দরজা বাছাই করলেই হল, সিদ্ধান্ত পরিবর্তনে কিছুই যাবে-আসবে না।
সবাইকে আনন্দের সাথে জানাচ্ছি, আপনি কুইজে ফেল করেছেন। আর দুঃখের সাথে বলতে হচ্ছে, সিদ্ধান্ত পরিবর্তন আসলে অতি-অবশ্যি ম্যাটার করে এবং আপনার ব্র্যান্ড নিউ গাড়ি জেতার আগের থেকে দ্বিগুণ সুযোগ তৈরী করে। কীভাবে? আসুন তবে, ম্যাথমেটিকালি দেখা যাক। তার আগে এই সমস্যার নাম-ধাম-ঠিকানা জেনে নিই।
অতি-বিখ্যাত মন্টি হল সমস্যা
এই সমস্যাটি একটি বিখ্যাত আলোড়ন-কারী প্রোবাবিলিটি প্যারাডক্স, এটি কেন প্যারাডক্স তা কিছু পরেই আমাদের কাছে পরিষ্কার হবে। আগে এর উৎপত্তি জেনে নেই। ‘৬০ এর দশকে অ্যামেরিকান একটি জনপ্রিয় টেলিভিশন গেম-শো ‘লেট’স মেইক এ ডিল’ থেকে এই সমস্যটির উৎপত্তি। এই গেম শো’র হোস্ট মন্টি হল এর নাম থেকেই সমস্যাটির নামকরণ করা হয় ‘মন্টি হল প্রব্লেম’। এই সমস্যাটি মূলত পরিসংখ্যানবিদ স্টিভ সেল্ভিন প্রস্তাব এবং সমাধান করেন, যেটি একটি অ্যামেরিকান পরিসংখ্যান বিষয়ক জার্নালে প্রকাশ হয়। এই বিখ্যাত সমস্যাটি এখনো গণিত-প্রেমীদের মনে অপার রহস্যের সঞ্চার করে। আমাদের সমস্যাটি জানা শেষ, এবার সমাধান খোঁজার পালা।
প্রোব্যাবিলিটির রহস্য ও গাণিতিক সমাধান
প্রথমে, এতটুকু বুঝতে হবে, আমরা আসলে বলতে পারি না কোন দরজার পিছনে কী আছে, তাই যেকোন সিদ্ধান্তই আমাদের জন্য ভুল হতে পারে। কিন্তু, আমরা একে সম্ভাব্যতার খাতিরে বিচার করব। সম্ভাব্যতার মাধ্যমে দেখলে, দরজা অবশ্যই বদলানো উচিৎ, এবং এটাই আপনার জন্য লাভজনক। কারণ, আপনি প্রথমে তিনটি দরজার ভিতরে একটি বাছাই করেছেন, এই পর্যায়ে আপনার সঠিক হওয়ার সম্ভাবনা ছিল ১/৩ ।
তাহলে দাঁড়ায়, বাকি দরজা দুইটির একটির পিছনে গাড়ি থাকার সম্ভাবনা ২/৩ । এখন খেয়াল করুন, হোস্ট যখন একটি দরজা খুলে দিয়েছে তখন কিন্তু এই সম্ভাবনার কোনরূপ পরিবর্তন হয়নি। অর্থাৎ, সম্ভাবনা আগের মতই রয়ে গিয়েছে- ২/৩ বা ৬৬.৬৭ শতাংশ।
অথবা অন্যভাবে চিন্তা করুন, যে দরজাটি আপনি প্রথমে বাছাই করেছেন সেটা ফাঁকা থাকার সম্ভাব্যতা ২/৩ (যেহেতু ৩ টির মধ্যে ২ টি দরজা ফাঁকা) । সুতরাং, হোস্টের অন্য একটি ফাঁকা দরজা খোলার পর, অবশিষ্ট দরজাটিতে গাড়ি থাকার সম্ভাবনাও ২/৩ । অর্থাৎ, আমরা গাণিতিকভাবে এই মাত্র দেখলাম, প্রথম দরজাতেই স্থির থাকলে গাড়ি জেতার সম্ভাবনা ১/৩ বা ৩৩.৩৩ শতাংশ, অন্যদিকে সিদ্ধান্ত পরিবর্তন করে অন্য দরজাটি বেছে নিলে গাড়ি জেতার সম্ভাবনা গিয়ে দাঁড়ায় ২/৩ বা ৬৬.৬৭ শতাংশ এ! যা পূর্বের দ্বিগুণ !!
এবারে সমাধান হাতে-কলমে
এখন সমস্যাটির সমাধান দেখেও স্বাদ মিটছে না, মেটার কথাও নয়- বিশ্বখ্যাত গণিতবিদ পল এরডশের-ও প্রথমে স্বাদ মিটেনি। তাই এটার উপর আমরা একটু ব্রুট ফোর্স এপ্লাই করি। অর্থাৎ, কেস গুলো আলাদাভাবে বিবেচনা করে এবার রেজাল্ট বের করব। যাচাই করে দেখব, সমস্যাটির সমাধান কি আসলেই ঠিক নাকি এর মধ্যে কোন বড় রকমের ফাঁকি আছে।
কেস- ১
গেম শো তে ৩ টি দরজা আছে। মনে করি, গাড়িটি আছে দরজা-১ এর পিছনে।
- এখন যদি আপনি দরজা-১ বাছাই করেন, এবং সিদ্ধান্ত পরিবর্তন না করে থাকেন, তাইলে আপনি গাড়িটা জিতেছেন।
- যদি আপনি দরজা-২ বাছাই করেন, এবং সিদ্ধান্ত পরিবর্তন না করে থাকেন তাহলে আপনি কিছুই পাবেন না।
- যদি আপনি দরজা-৩ বাছাই করেন, এবং সিদ্ধান্ত পরিবর্তন না করেন তাহলে এবারেও আপনি কিছুই পাবেন না।
অর্থাৎ, এ ক্ষেত্রে আপনার গাড়ি জেতার সম্ভাবনা ১/৩।
কেস- ২
এবার ও মনে করি গাড়িটি দরজা-১ এর পিছনেই আছে।
- যদি আপনি দরজা-১ বাছাই করে থাকেন এবং হোস্ট আপনাকে দরজা-২ অথবা দরজা-৩ এর কোনোটি দেখায়, এবং আপনি সিদ্ধান্ত পরিবর্তন করে ফেলেন, তাহলে আপনি কিছুই পাচ্ছেন না।
- যদি আপনি দরজা-২ বাছাই করে থাকেন এবং হোস্ট আপনাকে দরজা-৩ খুলে দেখায়, এবং আপনি সিদ্ধান্ত পরিবর্তন করে ফেলেন, তাহলে আপনি গাড়িটি পাচ্ছেন।
- যদি আপনি দরজা-৩ বাছাই করে থাকেন এবং হোস্ট আপনাকে দরজা-২ খুলে দেখায়, এবং আপনি সিদ্ধান্ত পরিবর্তন করে ফেলেন, তাহলে এবারেও কিন্তু আপনি গাড়ি জিতে যাচ্ছেন।
যার অর্থ দাঁড়াল, এ ক্ষেত্রে আপনার গাড়ি জেতার সম্ভাবনা কিন্তু ২/৩ !
এখানে আপনাকে আরেকটি বার মনে করিয়ে দেই, হোস্ট কিন্তু আগে থেকেই জানে যে, কোন দরজার পিছনে কী পুরষ্কার আছে। তাই হোস্ট যে দরজাটি খুলবে সেখানে অবশ্যই গাড়ি থাকতে পারবে না (এটা সমাধান বোঝার একটা গুরুত্বপূর্ণ ক্লু)। এভাবে গাড়ি দরজা-১ এর পিছে না থেকে অন্য দরজার পিছে থাকলেও একই ভাবে সেম জিনিস-ই পাওয়া যাবে।
আরোও হিসাব (সমাধান স্পষ্ট, কিন্তু মানতে কষ্ট!)
আমরা সাজানোর পসিবিলিটির অর্ডারের ক্ষেত্রে-ও হিসাব করে দেখতে পারি। অর্থাৎ, ডাবল কাউন্টিং করব ভালো ভাবে নিশ্চিত হওয়ার জন্য।
এখানে দরজার পিছে গাড়ি রাখার সর্বমোট ৩ ধরণের সম্ভাবনা বা পসিবিলিটি রয়েছে।
সম্ভাব্য অর্ডার-কঃ ১.গাড়ি ২. কিছুই নেই ৩.কিছুই নেই
সম্ভাব্য অর্ডার-খঃ ১. কিছুই নেই ২. গাড়ি ৩. কিছুই নেই
সম্ভাব্য অর্ডার-গ: ১.কিছুই নেই ২.কিছুই নেই ৩.গাড়ি
এখন সর্বপ্রথম দরজাটি বিবেচনা করি। আপনি প্রথমে ১ নম্বর দরজা বাছাই করেছেন, কিন্তু পরিবর্তন করেন নি। তাহলেঃ
- আপনি গাড়ি পেয়েছেন
- কিছুই পান নি
- কিছুই পান নি
আপনার গাড়ি জয়ের সম্ভাবনা ১/৩ ।
অন্যদিকে, আপনি ১ নম্বর দরজা বাছাই করেছেন, সেই সাথে হোস্টের পরবর্তীতে ফাঁকা গড়িহীন দরজা উন্মোচনের পর দরজা পরিবর্তনও করেছেন। তখনঃ
- কিছুই পান নি
- গাড়ি জিতেছেন।
- গাড়ি জিতেছেন
এখন আপনার গাড়ি জয়ের সম্ভাব্যতা কিন্তু ২/৩ হয়ে গেল!
এখানে আসলে আপনি র্যান্ডমলি দরজা পিক করছেন, হোস্ট কিন্তু দরজা র্যান্ডমলি পিক করছে না। (কারণ, সে এমন দরজা পিক করবে বা উন্মোচন করবে যেটিতে নিশ্চিত ভাবে কোন গাড়ি নেই।) তাই আপনি একটি দরজা বাছাই করছেন, যার সঠিক হওয়ার সম্ভাবনা অর্থাৎ গাড়ি থাকার সম্ভাবনা ৩৩.৩৩℅, আপনার হোস্ট যে দরজা বাছাই করেছে সেটিতে গাড়ি থাকার কোন সম্ভাবনা নেই- ০%। অন্যদিকে, অবশিষ্ট দরজার পিছনে গাড়ি থাকার সম্ভাবনা নিশ্চিত ৬৬.৬৭%। আর এ জন্যেই আপনি অবশিষ্ট দরজাটিতে আপনার মত পরিবর্তন করে নিলে আপনার গাড়ি পাবার সম্ভাবনা অবিশ্বাস্য-ভাবে হলেও বেড়ে যাবে!!
শেষের কুইজ
এবার বলুন তো, যদি ৩ টার বদলে ১০০ টি দরজা থেকে থাকে, আপনার প্রথম বাছাইয়ের পরে হোস্ট আপনার জন্য ৯৮ টি গাড়িবিহীন দরজা খুলে দেয়, তাহলে আপনার প্রথম দরজা তে স্থির থাকা উচিৎ হবে নাকি দরজাটি পালটিয়ে বাকি অবশিষ্ট দরজাটি বাছাই করে নেওয়া উচিৎ হবে?
মন্টি হল সমস্যা – ১০০ টি দরজা (প্রথমে ১ নং বাছাই করেছিলেন, এখন কোনটি বাছাই করবেন ভেবে বলুন!)
এবারে নিশ্চয়ই আন্দাজ করতে পারছেন, অবশ্যই দরজাটি পালটিয়ে ফেলা উচিৎ হবে (এবং এ-ও বুঝতে পারছেন কেন উচিৎ হবে)! হিসাব করলে দেখতে পারবেন, দরজা আগেরটাতেই স্থির থাকলে আপনার গাড়ি জেতার সম্ভাবনা ১/১০০ । অথচ, অপরদিকে দরজা বদলিয়ে ফেললে আপনার গাড়ি জয়ের সম্ভাবনা বেড়ে দাঁড়াবে ৯৯/১০০ !! এটা কীভাবে হবে তা আমরা ইতিপূর্বে আলোচনা করেছি। (যদিও যে কেউ ৫০-৫০% মনে করে ভ্রান্তিতে পতিত হতে পারে)। অর্থাৎ, আমাদের কাছে দরজা বদলানোকে ম্যাটার করে না বলে মনে হলেও, এই ডিসিশান পরিবর্তন ভীষণ-ভাবে ম্যাটার করে!
মন্টি হল সমস্যা – ১০০ টি দরজা (দরজা পরিবর্তন সম্ভাবনাকে বাড়িয়ে দেয়!!)
প্রথমে এই উত্তর মেনে নিতে খুব কষ্ট হতে পারে। হ্যাঁ, অনেক বিখ্যাত গণিতবিদেরই হয়েছিল। এর সমাধান প্রকাশিত হলে, লেখক ১০,০০০ টি চিঠি পেয়েছিলেন, তার ভুল ধরিয়ে দেওয়ার জন্যে- যার প্রায় ১,০০০ টি চিঠিই লিখেছিলেন গণিতের উপর পিএইচডি করা গণিতবিদেরা। এমনকি বিখ্যাত গণিতবিদ পল এরডশ-ও প্রথমে এর সমাধান দেখে প্রমাণ কোনমতেই বিশ্বাস করেননি, যতটুকু জানা যায়, কম্পিউটারের সিমুলেশনের মাধ্যমে তাকে টেস্ট করে রাজি করাতে হয়েছে।
আর হ্যাঁ, এটাই হয়ত গণিতের সৌন্দর্য । এই সমস্যটি তারই একটি নমুনা।
আপনারা অনলাইনে বসেই গেম শো-তে অংশ নিতে পারেন, এবং বেশ কয়েকবার খেলে প্র্যাক্টিক্যালি টেস্ট করে দেখতে পারো- এই ঠিকানায়ঃ
https://www.mathwarehouse.com/monty-hall-simulation-online/
তথ্যসুত্রঃ
http://mathworld.wolfram.com/MontyHallProblem.html
https://www.montyhallproblem.com/
https://www.bbc.com/news/av/magazine-24047377/stick-or-switch-probability-and-the-monty-hall-problem
Edward Barbeau’s research paper: The College Mathematics Journal https://www.jstor.org/stable/2686784?seq=1#page_scan_tab_content
copyrighted by MAA, Mathematical Association of America.
কম্বিনেটরিক্সের হাতেখড়ি, দ্বিমিক প্রকাশনী।